Изучаются спектральные свойства дифференциальных операторов второго порядка, определяемых периодическими и квазипериодическими краевыми условиями. Получены асимптотические формулы для собственных значений, оценки проекторов, оценки равносходимости спектральных разложений, достаточные условия спектральности операторов, асимптотическое разложение полугруппы операторов, генератором которой является исследуемый дифференциальный оператор, взятый со знаком минус. В оценках используются коэффициенты Фурье потенциала. Основные результаты статьи получены на основе метода подобных операторов. Библиография: 34 названия. Ключевые слова: спектр оператора, метод подобных операторов, дифференциальный оператор Хилла, асимптотика собственных значений, полугруппа операторов. DOI: https://doi.org/10.4213/sm8637