• Corpus ID: 116141261

The Inverse Problem for the One-Dimensional Schrodinger Equation with an Energy-Dependent Potential. 2.

@article{Jaulent1975TheIP,
  title={The Inverse Problem for the One-Dimensional Schrodinger Equation with an Energy-Dependent Potential. 2.},
  author={M. Jaulent and Cahen Paul Jean},
  journal={Annales De L Institut Henri Poincare-physique Theorique},
  year={1975},
  volume={25},
  pages={105-118}
}

• M. Jaulent, C. Jean
• Published 1975
• Mathematics
• Annales De L Institut Henri Poincare-physique Theorique

The one-dimensional Schrodinger equation is considered when the potential V+(k, x) depends on the energy k2 in the following way : V+(k, x) = U(x) + 2kQ(x) ; (U(x), Q(x)) belongs to a large class 1/ of pairs of real potentials admitting no bound state. To each pair in 1/ is associated a 2 x 2 matrix-valued function, the « scattering matrix » S + (k) = Si S+r 1 (k) SZ +( 1 (k) (k E R), for which S + (k) (k > 0) reprel2tk) S22(k) sents the « physical part » in the scattering problem associated with the Schrodinger equation. The complex function si1 (k) (k E is the « reflection coefficient to the right ». It is proved that S+(k) (k E fR) belongs to a certain class ~ and that (k E ~) belongs to a certain class On the other hand, two systems Si. and S2 of differential and integral equations are derived connecting quantities related to (k E R) and (k E R) with quantities related to (U(x), Q(x)). In a following paper, starting from these equations, we will study existence and uniqueness for pairs in ~, (*) This work has been done as a part of the program of the « Recherche Cooperative sur Programme n° 264. Etude interdisciplinaire des problemes inverses ». (**) Physique Mathematique et Theorique, Equipe de recherche associee au C. N. R. S. n° 154. Annales de l’Institut Henri Poincaré Section A Vol. XXV, n° 2 1976. 8 106 M. JAULENT AND C. JEAN given the scattering matrix in ~-i. e. existence and uniqueness for the « inverse scattering problem » -, and existence and uniqueness for pairs in 1/, given the reflection coefficient to the right in e. existence and uniqueness for the « inverse reflection problem »-. RESUME. On considère 1’equation de Schrodinger a une dimension y+ " + [k2 V + (k, x)] y+ = 0, xe R, dans le cas ou le potentiel V + (k, x) depend de l’énergie k2 de la façon suivante : V + (k, x) = U(x) + 2kQ(x) ; (U(x), Q(x)) appartient a une vaste classe 1/ de couples de potentiels reels n’admettant pas d’etat lie. A chaque couple de f est associée une fonction a valeurs dans l’espace des matrices 2 x 2, la « matrice de diffusion » S + (k) (k > 0) représente la « partie physique » dans le probleme de la diffusion associe a 1’equation de Schrodinger. La fonction complexe (k E ~) est le « coefficient de reflexion a droite ». On démontre que S + (k) (k appartient à une certaine classe iX et que s21 (k) (k E R) appartient a une certaine classe R. On etablit d’autre part deux systemes d’equations differentielles et intégrales 81 et S2 qui relient des quantites deduites de (k E R) et (k E (~) a des quantites deduites de (U(x), Q(x)). Dans un article suivant on partira de ces equations pour etudier le « probleme inverse de la diffusion » (c’est-a-dire l’existence et 1’unicite de (U(x), Q(x)) dans 1/ quand on se donne S + (k) (k E R) dans J) et le « probleme inverse de la reflexion » (c’est-a-dire l’existence et 1’unicite de (U(x), Q(x)) dans 1/ quand on se donne Si1(k) (k E R) dans ~).