• DOI:10.1007/s00023-021-01124-2
• Corpus ID: 215754681

On the Ultraviolet Limit of the Pauli–Fierz Hamiltonian in the Lieb–Loss Model

@article{Bach2022OnTU,
  title={On the Ultraviolet Limit of the Pauli–Fierz Hamiltonian in the Lieb–Loss Model},
  author={Volker Bach and Alexander Hach},
  journal={Annales Henri Poincar{\'e}},
  year={2022}
}

• V. Bach, A. Hach
• Published 14 April 2020
• Chemistry, Physics, Art, Computer Science
• Annales Henri Poincaré

<jats:p>Two decades ago, Lieb and Loss (Self-energy of electrons in non-perturbative QED. Preprint <jats:ext-link xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" ext-link-type="uri" xlink:href="http://arxiv.org/abs/math-ph/9908020">arXiv:math-ph/9908020</jats:ext-link> and mp-arc #99–305, 1999) approximated the ground state energy of a free, nonrelativistic electron coupled to the quantized radiation field by the infimum <jats:inline-formula><jats:alternatives><jats:tex-math>$$E_{\alpha , \Lambda }$$</jats:tex-math><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">
<mml:msub>
<mml:mi>E</mml:mi>
<mml:mrow>
<mml:mi>α</mml:mi>
<mml:mo>,</mml:mo>
<mml:mi>Λ</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:math></jats:alternatives></jats:inline-formula> of all expectation values <jats:inline-formula><jats:alternatives><jats:tex-math>$$\langle \phi _{el} \otimes \psi _{ph} | H_{\alpha , \Lambda } (\phi _{el} \otimes \psi _{ph}) \rangle $$</jats:tex-math><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">
<mml:mrow>
<mml:mo>⟨</mml:mo>
<mml:msub>
<mml:mi>ϕ</mml:mi>
<mml:mrow>
<mml:mi>el</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mo>⊗</mml:mo>
<mml:msub>
<mml:mi>ψ</mml:mi>
<mml:mrow>
<mml:mi>ph</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mo>|</mml:mo>
<mml:msub>
<mml:mi>H</mml:mi>
<mml:mrow>
<mml:mi>α</mml:mi>
<mml:mo>,</mml:mo>
<mml:mi>Λ</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mo>(</mml:mo>
<mml:msub>
<mml:mi>ϕ</mml:mi>
<mml:mrow>
<mml:mi>el</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mo>⊗</mml:mo>
<mml:msub>
<mml:mi>ψ</mml:mi>
<mml:mrow>
<mml:mi>ph</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mo>)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>⟩</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:math></jats:alternatives></jats:inline-formula>, where <jats:inline-formula><jats:alternatives><jats:tex-math>$$H_{\alpha , \Lambda }$$</jats:tex-math><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">
<mml:msub>
<mml:mi>H</mml:mi>
<mml:mrow>
<mml:mi>α</mml:mi>
<mml:mo>,</mml:mo>
<mml:mi>Λ</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:math></jats:alternatives></jats:inline-formula> is the corresponding Hamiltonian with fine structure constant <jats:inline-formula><jats:alternatives><jats:tex-math>$$\alpha >0$$</jats:tex-math><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">
<mml:mrow>
<mml:mi>α</mml:mi>
<mml:mo>></mml:mo>
<mml:mn>0</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:math></jats:alternatives></jats:inline-formula> and ultraviolet cutoff <jats:inline-formula><jats:alternatives><jats:tex-math>$$\Lambda < \infty $$</jats:tex-math><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">
<mml:mrow>
<mml:mi>Λ</mml:mi>
<mml:mo><</mml:mo>
<mml:mi>∞</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:math></jats:alternatives></jats:inline-formula>, and <jats:inline-formula><jats:alternatives><jats:tex-math>$$\phi _{el}$$</jats:tex-math><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">
<mml:msub>
<mml:mi>ϕ</mml:mi>
<mml:mrow>
<mml:mi>el</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:math></jats:alternatives></jats:inline-formula> and <jats:inline-formula><jats:alternatives><jats:tex-math>$$\psi _{ph}$$</jats:tex-math><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">
<mml:msub>
<mml:mi>ψ</mml:mi>
<mml:mrow>
<mml:mi>ph</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:math></jats:alternatives></jats:inline-formula> are normalized electron and photon wave functions, respectively. Lieb and Loss showed that <jats:inline-formula><jats:alternatives><jats:tex-math>$$c \alpha ^{1/2} \Lambda ^{3/2} \le E_{\alpha , \Lambda } \le c^{-1} \alpha ^{2/7} \Lambda ^{12/7}$$</jats:tex-math><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">
<mml:mrow>
<mml:mi>c</mml:mi>
<mml:msup>
<mml:mi>α</mml:mi>
<mml:mrow>
<mml:mn>1</mml:mn>
<mml:mo>/</mml:mo>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msup>
<mml:msup>
<mml:mi>Λ</mml:mi>
<mml:mrow>
<mml:mn>3</mml:mn>
<mml:mo>/</mml:mo>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msup>
<mml:mo>≤</mml:mo>
<mml:msub>
<mml:mi>E</mml:mi>
<mml:mrow>
<mml:mi>α</mml:mi>
<mml:mo>,</mml:mo>
<mml:mi>Λ</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mo>≤</mml:mo>
<mml:msup>
<mml:mi>c</mml:mi>
<mml:mrow>
<mml:mo>-</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msup>
<mml:msup>
<mml:mi>α</mml:mi>
<mml:mrow>
<mml:mn>2</mml:mn>
<mml:mo>/</mml:mo>
<mml:mn>7</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msup>
<mml:msup>
<mml:mi>Λ</mml:mi>
<mml:mrow>
<mml:mn>12</mml:mn>
<mml:mo>/</mml:mo>
<mml:mn>7</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msup>
</mml:mrow>
</mml:math></jats:alternatives></jats:inline-formula> for some constant <jats:inline-formula><jats:alternatives><jats:tex-math>$$c >0$$</jats:tex-math><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">
<mml:mrow>
<mml:mi>c</mml:mi>
<mml:mo>></mml:mo>
<mml:mn>0</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:math></jats:alternatives></jats:inline-formula>. In the present paper, we prove the existence of a constant <jats:inline-formula><jats:alternatives><jats:tex-math>$$C < \infty $$</jats:tex-math><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">
<mml:mrow>
<mml:mi>C</mml:mi>
<mml:mo><</mml:mo>
<mml:mi>∞</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:math></jats:alternatives></jats:inline-formula>, such that <jats:disp-formula><jats:alternatives><jats:tex-math>$$\begin{aligned} \bigg | \frac{E_{\alpha , \Lambda }}{F_1 \, \alpha ^{2/7} \, \Lambda ^{12/7}} - 1 \bigg | \ \le \ C \, \alpha ^{4/105} \, \Lambda ^{-4/105} \end{aligned}$$</jats:tex-math><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">
<mml:mrow>
<mml:mtable>
<mml:mtr>
<mml:mtd>
<mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mo>|</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mfrac>
<mml:msub>
<mml:mi>E</mml:mi>
<mml:mrow>
<mml:mi>α</mml:mi>
<mml:mo>,</mml:mo>
<mml:mi>Λ</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mi>F</mml:mi>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:msub>
<mml:mspace />
<mml:msup>
<mml:mi>α</mml:mi>
<mml:mrow>
<mml:mn>2</mml:mn>
<mml:mo>/</mml:mo>
<mml:mn>7</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msup>
<mml:mspace />
<mml:msup>
<mml:mi>Λ</mml:mi>
<mml:mrow>
<mml:mn>12</mml:mn>
<mml:mo>/</mml:mo>
<mml:mn>7</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:m