• Corpus ID: 203951946

Mapping class groups, skein algebras and combinatorial quantization

@article{Faitg2019MappingCG,
  title={Mapping class groups, skein algebras and combinatorial quantization},
  author={Matthieu Faitg},
  journal={arXiv: Quantum Algebra},
  year={2019}
}

• Matthieu Faitg
• Published 16 September 2019
• Mathematics
• arXiv: Quantum Algebra

Les algebres L(g,n,H) ont ete introduites par Alekseev-Grosse-Schomerus et Buffenoir-Roche au milieu des annees 1990, dans le cadre de la quantification combinatoire de l'espace de modules des G-connexions plates sur la surface S(g,n) de genre g avec n disques ouverts enleves. L'algebre de Hopf H, appelee algebre de jauge, etait a l'origine le groupe quantique U_q(g), avec g=Lie(G). Dans cette these nous appliquons les algebres L(g,n,H) a la topologie en basses dimensions (groupe de diffeotopie et algebres d'echeveaux des surfaces), sous l'hypothese que H est une algebre de Hopf de dimension finie, factorisable et enrubannee mais pas necessairement semi-simple, l'exemple phare d'une telle algebre de Hopf etant le groupe quantique restreint associe a sl(2) (a une racine 2p-ieme de l'unite). D'abord, nous construisons en utilisant L(g,n,H) une representation projective des groupes de diffeotopie de S(g,0)D et de S(g,0) (ou D est un disque ouvert). Nous donnons des formules pour les representations d'un ensemble de twists de Dehn qui engendre le groupe de diffeotopie; en particulier ces formules nous permettent de montrer que notre representation est equivalente a celle construite par Lyubashenko-Majid et Lyubashenko via des methodes categoriques. Pour le tore S(1,0) avec le groupe quantique restreint associe a sl(2) comme algebre de jauge, nous calculons explicitement la representation de SL(2,Z) en utilisant une base convenable de l'espace de representation et nous en determinons la structure.Ensuite, nous introduisons une description diagrammatique de L(g,n,H) qui nous permet de definir de facon tres naturelle l'application boucle de Wilson W. Cette application associe un element de L(g,n,H) a chaque entrelac dans (S(g,n)D) x [0,1] qui est parallelise, oriente et colorie par des H-modules. Quand l'algebre de jauge est le groupe quantique restreint associe a sl(2), nous utilisons W et les representations de L(g,n,H) pour construire des representations des algebres d'echeveaux S_q(S(g,n)). Pour le tore S(1,0) nous etudions explicitement cette representation.