Groupe de Lie et observateur non-linéaire

Abstract

Dans la théorie du contrôle, les symétries ont été utilisées en contrôle optimal et dans le design de contrôleur ([5], [4], [8], [6], [7], [11], [9]) . A notre connaissance les symétries ont peu été utilisées pour le design d’observateur. Dans [2] on construit un observateur intrinsèque pour les systèmes Lagrangiens dont on mesure la position : il est invariant via les changements de coordonnées. Dans [1], [?] on montre comment on peut exploiter les symétries pour le design d’observateurs. Ici l’on va s’inspirer de ces derniers travaux afin de définir des observateurs sur des groupe de Lie avec dynamique invariante à gauche. Mais l’on va procéder un peu différemment en mélangeant les invariances à gauche et les invariances à droite afin d’obtenir des propriétés interessantes sur l’erreur d’estimation. On se place sur un groupe de Lie G. Tout groupe agit sur lui-même via les translations à droite ou à gauche. On considère ici une dynamique sur G invariante (par exemple) à gauche, c’est à dire que les équations de la dynamique sont inchangées par une translation à gauche. Notons que la dynamique peut dépendre explicitement du temps. On montre alors qu’il est possible, moyennant certaines hypothèses sur l’application de sortie du système, de construire des observateurs non-linéaires pour lesquels l’erreur d’estimation suit une équation autonome, ce qui rappelle la théorie linéaire. Ces résultats ont été obtenus suite à l’étude d’un problème pratique, celui de la navigation inertielle. Il est nécessaire pour piloter un objet volant, manuellement, assisté par ordinateur, ou tout en automatique, d’avoir une bonne connaissance de son orientation dans l’espace. Dans les systèmes de navigations relativement peu chers, les gyroscopes dérivent lentement. On peut utiliser la mesure du champ magnétique terrestre ~ B pour les recaler. Les différentes mesures sont fusionnées en accord avec les équations du mouvement. On utilise généralement un filtre de Kalman étendu afin d’obtenir une estimation de l’orientation. L’orientation de l’objet peut être décrite par une élément du groupe de rotations SO(3) de l’espace euclidien à trois dimensions, i.e l’espace de configuration d’un solide ayant un point fixe. On identifie l’orientation du solide

Cite this paper

@inproceedings{Bonnabel2006GroupeDL, title={Groupe de Lie et observateur non-linéaire}, author={Silvere Bonnabel and Philippe Martin and Pierre Rouchon}, year={2006} }