• DOI:10.5802/AFST.1313
• Corpus ID: 55941636

Extendible bases and Kolmogorov problem on asymptotics of entropy and widths of some class of analytic functions

@article{Zakharyuta2011ExtendibleBA,
  title={Extendible bases and Kolmogorov problem on asymptotics of entropy and widths of some class of analytic functions},
  author={Vyacheslav Zakharyuta},
  journal={Annales de la Facult{\'e} des Sciences de Toulouse},
  year={2011},
  volume={20},
  pages={211-239}
}

• V. Zakharyuta
• Published 2011
• Mathematics
• Annales de la Faculté des Sciences de Toulouse

— Let K be a compact set in an open set D on a Stein manifold Ω of dimension n. We denote by H∞ (D) the Banach space of all bounded and analytic in D functions endowed with the uniform norm and by AK a compact subset of the space C (K) consisted of all restrictions of functions from the unit ball BH∞(D). In 1950ies Kolmogorov posed a problem: does Hε ( AK ) ∼ τ ( ln 1 ε )n+1 , ε→ 0, whereHε ( AK ) is the ε-entropy of the compact AK . We give here a survey of results concerned with this problem and a related problem on the strict asymptotics of Kolmogorov diameters of the set AK wih respect to the unit ball in the space C (K). We decribe a progress in studying of these problems, beginning with initial results of 1950ies, in the closed connection with the problem on existence of a common basis for the spaces A (K) and A (D) with good estimates on sublevel sets of extremal plurisubharmonic function for the pair (condenser) (K,D). The survey is concluded by a discussion of some open problems. RÉSUMÉ. — Soit K un sous-ensemble compact d’un ouvert D d’une variété de Stein Ω de dimension n. On désigne par H∞ (D) l’espace de Banach des fonctions analytiques et bornées sur D functions muni de la norme de la convergence uniforme et par AK une partie compacte de l’espace C (K) consituée de toutes les restrictions des fonctions de la boule unité BH∞(D). Dans les année 1950, Kolmogorov posa le problème suivant: Existe-t-il une constante τ telle qu’on ait l’asymptotique Hε ( AK ) ∼ τ ( ln 1 ε )n+1 , ε→ 0, (1) Faculty of Engineering and Natural Sciences, Sabancı University, Orhanlı, 34956 Tuzla/Istanbul, Turkey – 211 – Vyacheslav Zakharyuta où Hε ( AK ) est la ε-entropie du compact AK? On donne ici une revue des résultats concernant ce problème et un problème qui lui est relié concernant l’asymptotoque stricte des diamètres de Kolmogorovde l’ensemble AK par rapport à la boule unité de l’espace C (K). On décrit les progrès réalisés dans l’étude de ces problèmes, commençant par les résultats initiaux des années 1950, en relation étroite avec le problème de l’existence des bases communespour les espaces A (K) and A (D) avec de bonnes estimations sur les ensembles de sous-niveau de la fonction plurisouharmonique extrémalede la paire (condensateur) (condenser) (K,D). On conclut cette présentation avec une discussion des problèmes ouverts.