• DOI:10.1515/crll.1932.167.399
• Corpus ID: 199545542

Beweis eines Hauptsatzes in der Theorie der Algebren.

@article{Brauer1932BeweisEH,
  title={Beweis eines Hauptsatzes in der Theorie der Algebren.},
  author={Richard Brauer and Emmy Noether and Helmut Hasse},
  journal={Journal f{\"u}r die reine und angewandte Mathematik (Crelles Journal)},
  year={1932},
  volume={1932},
  pages={399 - 404}
}

• R. Brauer, E. Noether, H. Hasse
• Published 1932
• Mathematics
• Journal für die reine und angewandte Mathematik (Crelles Journal)

Endlich ist es unseren vereinten Bemühungen gelungen, die Richtigkeit des folgenden Satzes zu beweisen, der für die Strukturtheorie der Algebren über algebraischen Zahlkörpern sowie auch darüber hinaus von grundlegender Bedeutung ist: Hauptsatz. Jede normale Divisionsalgebra über einem algebraischen Zahlkörper ist zyklisch (oder, wie man auch sagt, vom Dicksonschen Typus). Es ist uns eine besondere Freude, dieses Ergebnis, als einen im wesentlichen der p-adischen Methode zu dankenden Erfolg, Herrn Kurt Hensel, dem Begründer dieser Methode, zu seinem 70. Geburtstag vorzulegen. Unser Beweis besteht in drei Reduktionen, von denen jeder von uns eine beigesteuert hat ). 1. Die erste Reduktion gab H. Hasse auf Grund der von ihm kürzlich entwickelten Theorie der zyklischen Algebren über algebraischen Zahlkörpern ). Reduktion 1. Der Hauptsatz ist bewiesen, wenn gezeigt ist: I. Jede überall zerfallende Algebra über ist ~ . Zur Abkürzung der Ausdrucksweise soll dabei hier wie im folgenden ,,Algebra A über " stets „normale einfache Algebra A über dem algebraischen Zahlkörper " („einfaches hyperkomplexes System mit dem Zentrum ") bedeuten. Ferner bezeichnet A ~Q, daß A eine vollständige Matrixalgebra in ist, also die Zugehörigkeit von A zu der speziellen durch selbst als Divisionsalgebra über bestimmten Klasse im Sinne der Ähnlichkeit (Gleichheit der zugehörigen Divisionsalgebren über ) [H, 5]. Schließlich ist unter einer „überall zerfallenden" Algebra über eine solche verstanden, bei der für jede Primstelle $ von die p-adische Erweiterung (d. h. die durch Erweiterung des Koeffizientenkörpers auf den zugehörigen p-adischen Körper entstehende Algebra) A% ̂ ist. Beweis. Sei D eine Divisionsalgebra über . Ist dann Z ein zyklischer Körper über derart, daß für jede Primstelle $ von der £-Grad von Z ein Multiplum des p-Index von D ist [vgl. d. Anm. zu H, 17 Bb], so ist für die zugehörigen Primteiler ty in Z jeweils der *ß-adische Körper Z$ Zerfällungskörper von Dp [H, 18.1], und daraus ergibt sich, daß die durch Erweiterung des Koeffizientenkörpers von D auf Z ent-