• DOI:10.1515/crll.1929.160.227
• Corpus ID: 199545822

Über eine Widerspruchfreiheitsfrage in der axiomatischen Mengenlehre.

@article{vNeumannberEW,
  title={{\"U}ber eine Widerspruchfreiheitsfrage in der axiomatischen Mengenlehre.},
  author={J. v. Neumann},
  journal={Journal f{\"u}r die reine und angewandte Mathematik (Crelles Journal)},
  volume={1929},
  pages={227 - 241}
}

• J. v. Neumann
• Journal für die reine und angewandte Mathematik (Crelles Journal)

Einleitung. 1. In zwei Arbeiten l ) habe ich ein Axiomensystem der allgemeinen Mengenlehre angegeben, und daraus die Haupttatsachen der Mengenlehre hergeleitet. Dieses Axiomensystem ging dabei an zwei Punkten wesentlich über die Zermelo-Fraenkehche Axiomatisierung hinaus. A. Während Zermelo-Fraenkel das Aufstellen von Mengen nur dann gestatteten, wenn der Umfang derselben nicht „zu groß" war, dürfen hier die Mengen ruhig „zu groß" sein — aber sie sind nur dann als Elemente bei der Bildung anderer Mengen verwendbar, wenn sie nicht „zu groß" sind. Zur Vermeidung der bekannten Antinomien (Russell, Burali-Forti) reichte dies nämlich auch aus, und es ist für gewisse Zwecke so angenehmer (vgl. §§ 2, 3. Kap. I loc. cit. I). B. Während Zermelo-Fraenkel nicht genau definieren, wann der Umfang einer Menge „zu groß" ist, sondern nur durch einige Postulate untere Grenzen setzen ), geben wir für diesen Begriff eine genaue Definition: Eine Menge ist dann und nur dann „nicht zu groß", wenn sie von kleinerer Mächtigkeit ist als die Menge aller Dinge überhaupt (d. h. wenn sie nicht so abgebildet werden kann, daß diese vollkommen überdeckt wird). (Dies wird exakt formuliert im Axiom IV. 2. Seite 225 loc. cit. I oder Seite 675 loc. cit. II. Übrigens vgl. §§ 2, 3. Kap. I loc. cit. I). Ein dritter, aber bloß technisch wesentlicher Unterschied ist, daß wir den Begriff der Funktion und nicht den der Menge (beide sind ja leicht aufeinander zurückzuführen)) zum Ausgangspunkte des Axiomatisierens wählen. Dies ist aber, wie bereits erwähnt, vom prinzipiellen Gesichtspunkte wenig wichtig.